；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，∴
∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴
；
=
；
；
，带入（1）得：
；
∴由余弦定理，∴cosC的最小值为．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．
17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=AC=2
，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．
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（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点， ∴GQ
，QH
，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO， ∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B， ∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC， 又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（，3）， =（﹣2
，﹣
，﹣3），
=（2
，2
，0），
，0，0），C（﹣2
，0，0），B（0，2
，0），O′（0，0，3），F（0，
由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量， 则
，即
）， =﹣
． ，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣∴cos＜
，＞=
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角， ∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为
．
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【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn=
=
=
=
=
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==
=6（n+1）?2n，
∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，
∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②， ①﹣②可得
﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1] =12+6×
﹣6（n+1）?2n+1
=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2， ∴Tn=3n?2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案； （II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件， 故概率P=
+
+
=++=，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
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则P（X=0）=P（X=1）=2×[P（X=2）=
+
P（X=3）=2×P（X=4）=2×[P（X=6）=
=
=， +
+=
=+
，
]=
]=，
+
，
故X的分布列如下图所示：
X P 0 1 2 +2×
3 4 +6×
6 ∴数学期望EX=0×+1×+3×+4×==
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=
．则
，a∈R．
F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+
，
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