高考真题及答案
（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z． 令2x+2θ﹣
=kπ，解得x=
，k∈Z．
，0）成中心对称，令
．
=
，
由于函数y=g（x）的图象关于点（解得θ=
，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．
18．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn=
，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减
法及等比数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得解得当当
，或
，
，
时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1； 时，an=（2n+79），bn=9?
；
（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1， ∴cn=
=
，
+7?
+9?
+…+（2n﹣1）?
，
∴Tn=1+3?+5?
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∴Tn=1?+3?∴Tn=2++∴Tn=6﹣
+．
+5?+
+7?+…+
+…+（2n﹣3）?﹣（2n﹣1）?
+（2n﹣1）?=3﹣
，
，
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
，求
的值．
【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可． 解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直
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角坐标系，运用向量的数量积判断即可． 2）由PD⊥底面ABCD，所以知，PB⊥平面DEF，所以
=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）
=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数
量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D， 所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE． 又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE． 又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线． 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD． 所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD=DC=1，BC=λ，有BD=
，
，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=
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则 tan所以
=
=tan∠DPF==
==，解得．
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为（解法2）
时，=．
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），点E是PC的中点，所以E（0，，），于是
=0，即PB⊥DE．
=（0，，），
=（λ1，﹣1），
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF． 因
=（0，1，﹣1），
=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以
=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量； =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
， =，
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为则运用向量的数量积求解得出cos解得
．所以所以
=
=
=
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．
20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产
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品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可． （2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可． 【解答】（12分）
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
将z=1000x+1200y变形为当x=2.4，y=4.8时，直线l：
，
在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），
